Analysis Band by Behrends

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Example text

Angenommen, alle ∆m w¨aren endlich. Dann 6) In Formeln bedeutet das: Es ist g ur x − 1/k ≤ t ≤ x, und f¨ ur die x,k (t) := k(t − x) + 1 f¨ x ≤ t ≤ x + 1/k ist gx,k (t) := −k(t − x) + 1. 3 angewendet. ¨ ¨ KAPITEL 5. FUNKTIONENRAUME 20 w¨ are [ 0, 1 ] als abz¨ ahlbare Vereinigung endlicher Mengen abz¨ahlbar. 4 gezeigt wurde. Es 1 muss also irgendein ∆m unendlich sein, und wir w¨ahlen ∆ := ∆m und ηˆ := . ) Nun soll die Versagerfolge“ (fn ) konstruiert werden. Wir beginnen mit der ” Auswahl einer Folge (xl )l∈N paarweise verschiedener Elemente aus ∆.

3. DER RAUM CK 27 Wir wenden uns nun der Frage zu, wie kompakte Mengen in CK charakterisiert werden k¨ onnen. 3 in Band 1 haben wir gesehen, welche weitreichenden Folgerungen sich aus der Kompaktheit ziehen lassen. Ziel wird der Beweis des Satzes von Arzel` a-Ascoli sein11) : Sei K ein kompakter metrischer Raum und Φ eine Teilmenge von CK. Dann ist Φ genau dann kompakt, wenn Φ beschr¨ankt12) und abgeschlossen ist (bis hierher ist es das gleiche Kompaktheitskriterium wie im Kn ) und zus¨atzlich eine Eigenschaft hat, die gleich besprochen werden wird: Φ muss auch noch gleichgradig stetig sein.

Aufgrund dieses Beispiels kann man zu der Vermutung kommen, dass die Nichtkompaktheit von Φ daran liegt, dass die f ∈ Φ – obwohl sie alle stetig sind – beliebig schlechte Stetigkeitseigenschaften haben k¨ onnen (wie etwa die (xn )n∈N bei 1). Wir werden sehen, dass bei Ausschluss dieser M¨oglichkeit Kompaktheit wirklich gezeigt werden kann. 5. Sei M ein metrischer Raum und Φ ⊂ CM . (i) F¨ ur x0 ∈ M heißt Φ gleichgradig stetig bei x0 , wenn das δ zum ε gleichzeitig f¨ ur alle f ∈ Φ gew¨ahlt werden kann, wenn also ∀∃∀ ∀ ε>0 δ>0 f ∈Φ x∈M d(x,x0 )≤δ |f (x) − f (x0 )| ≤ ε.

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